空间向量

日本学年参考：数学C

学习内容

本节将平面向量的概念拓展至三维空间，学习三维坐标分量表示、空间数量积以及空间立体几何方程。这些工具广泛应用于三维图形学、立体几何及物理动力学建模。学习前建议先熟练掌握平面向量的坐标运算与点积方法。

要点

这是计算三维空间向量 $\vec{a}=(a_1, a_2, a_3)$ 大小（模长）的公式。它是勾股定理在三维空间的推广，通过将三个坐标分量 $a_1, a_2, a_3$ 分别平方相加后再开平方根求得。

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}

这是通过坐标分量计算两个空间向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 点积的公式。将两向量对应的三个分量分别相乘（ $a_1 b_1, a_2 b_2, a_3 b_3$ ），再将这三项乘积求和即可。

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

这是三维空间中球面的标准方程。它表示到球心 $(a, b, c)$ 的空间距离等于半径 $r$ （ $r > 0$ ）的所有点 $(x, y, z)$ 所满足的几何关系。

(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2

请选择要练习的题组。