夹角

日本学年参考：数学C

学习内容

学习通过变形数量积公式，结合两向量的模长与点积来计算它们夹角的余弦值。这一方法常用于分析二维平面与三维空间中方向之间的几何关系。学习前需要掌握向量模长、数量积计算以及三角函数的基础知识。

要点

这是用来求两个向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角 $\theta$ 的公式。用两向量的点积 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 除以各自模长的乘积 $|\vec{a}||\vec{b}|$ ，即可得出夹角余弦值 $\cos\theta$ 。

\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}

这是根据两个平面向量的坐标分量 $(a_1, a_2)$ 和 $(b_1, b_2)$ 直接计算夹角余弦值 $\cos\theta$ 的公式。分子为两向量的点积，分母为各自模长的乘积。

\cos\theta = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}

这是表示两个向量夹角 $\theta$ 取值范围的式子。按照数学约定，向量间的夹角取两方向张开的较小角度，因此范围始终在 $0$ 到 $\pi$ 弧度（即 $0^\circ$ 到 $180^\circ$ ）之间。

0 \le \theta \le \pi

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