空間ベクトル

学年の目安（日本）: 数学C

学ぶこと

平面のベクトルを3次元空間に拡張し、3成分のベクトル演算や空間における内積・位置ベクトルを学びます。立体図形の解析や3DCG、物理シミュレーションに応用されます。事前に平面ベクトルの成分表示や内積の扱いに習熟しておくことが望ましいです。

要点

3次元の空間ベクトル $\vec{a}=(a_1, a_2, a_3)$ の大きさ（原点からの長さ）を求める公式です。三平方の定理を立体に拡張したもので、3つの成分 $a_1, a_2, a_3$ をそれぞれ2乗して合計し、平方根をとります。

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}

空間における2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積を成分から計算する公式です。対応する3つの成分の積（ $a_1 b_1, a_2 b_2, a_3 b_3$ ）をそれぞれ計算し、それらをすべて足し合わせます。

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3

3次元空間における球面の方程式です。中心の座標 $(a, b, c)$ からの距離が半径 $r$ （ $r > 0$ ）に等しいすべての点 $(x, y, z)$ が満たす関係を表しています。

(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2

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