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数量积

向量

日本学年参考：数学C

学习内容

本节学习利用向量的模与夹角余弦定义数量积（点积），并掌握通过坐标分量进行计算及判定正交的法则。该运算在判定垂直关系和物理功的计算中被广泛应用。学习前需要熟悉向量的坐标表示、模长以及三角函数中的余弦值。

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要点

这是计算两个向量 a⃗\vec{a} 与 b⃗\vec{b} 数量积（点积）的基本定义式。由两向量各自的模长 ∣a⃗∣|\vec{a}| 与 ∣b⃗∣|\vec{b}|，乘以它们夹角 θ\theta 的余弦值 cos⁡θ\cos\theta 得到。

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta

这是根据坐标分量直接计算两个平面向量点积的公式。将横坐标乘积 a1b1a_1 b_1 与纵坐标乘积 a2b2a_2 b_2 相加，无需得知夹角即可求出点积。

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2

这是向量自身做点积等于其模长平方 ∣a⃗∣2|\vec{a}|^2 的重要性质。在推导向量长度或两点间距离时经常使用该公式。

a⃗⋅a⃗=∣a⃗∣2\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2

这是判断两个非零向量 a⃗\vec{a} 与 b⃗\vec{b} 是否互相垂直的充要条件。由于两向量成 90∘90^\circ 角时 cos⁡90∘=0\cos 90^\circ = 0，因此它们垂直当且仅当其点积为 00。

a⃗⊥b⃗  ⟺  a⃗⋅b⃗=0(a⃗≠0⃗, b⃗≠0⃗)\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \quad (\vec{a} \neq \vec{0}, \, \vec{b} \neq \vec{0})

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