内積

2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積を求める基本定義式です。それぞれの大きさ $|\vec{a}|$ と $|\vec{b}|$ に、2本のベクトルがなす角 $\theta$ の余弦 $\cos\theta$ を掛け合わせて計算します。

成分が与えられている2つの平面ベクトルについて内積を計算する公式です。$x$ 成分同士の積 $a_1 b_1$ と $y$ 成分同士の積 $a_2 b_2$ を足し合わせることで、なす角を測らずに内積を求められます。

同じベクトル $\vec{a}$ 同士の内積をとると、そのベクトルの大きさの2乗 $|\vec{a}|^2$ に等しくなるという重要な性質です。ベクトルの長さや距離を計算する際によく利用されます。

ゼロでない2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直（直交）であるかどうかを判定する条件です。なす角が $90^\circ$ のとき $\cos 90^\circ = 0$ となるため、垂直であることと内積が $0$ になることは同値です。