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なす角

ベクトル

学年の目安（日本）: 数学C

学ぶこと

内積の定義式を変形し、2つのベクトルの大きさと内積の値からなす角の余弦を計算する方法を学びます。平面や空間における2つの向きの位置関係を調べる場面で使われます。ベクトルの大きさや内積の計算、三角関数の基礎知識が必要です。

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要点

2つのベクトル a⃗\vec{a} と b⃗\vec{b} がなす角 θ\theta を求めるときに使う式です。内積 a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b} をそれぞれの大きさ ∣a⃗∣|\vec{a}| と ∣b⃗∣|\vec{b}| の積で割ることで、なす角の余弦 cos⁡θ\cos\theta を算出できます。

cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}

2つの平面ベクトルの成分 (a1,a2)(a_1, a_2) と (b1,b2)(b_1, b_2) からなす角の cos⁡θ\cos\theta を直接計算する式です。分子は2つのベクトルの内積、分母はそれぞれの大きさ（長さ）の積を表しています。

cos⁡θ=a1b1+a2b2a12+a22b12+b22\cos\theta = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}

2つのベクトルがなす角 θ\theta が取りうる値の範囲を表す式です。ベクトルのなす角は小さいほうの開き具合を基準とするため、常に 0∘0^\circ から 180∘180^\circ（弧度法で 0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi）の範囲で定めます。

0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi

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