基与维数

日本学年参考：大学1年级

学习内容

学习作为向量空间极大线性无关组的基，以及基中向量个数所表示的维数。这是理解空间自由度与几何结构不可或缺的重要概念。学习本内容前，需要具备线性表出与线性无关等基础知识。

要点

这个公式表示向量组 $\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_n$ 能够张成（生成）整个向量空间 $V$ 。空间 $V$ 中的任意向量，都可以用这几个向量数乘后相加组合出来。

V = \operatorname{span}(\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_n)

这是计算两个子空间合并后（和空间 $W_1 + W_2$ ）维数的公式。将两个子空间的维数相加，再减去它们重合部分（交空间 $W_1 \cap W_2$ ）的维数即可。

\dim(W_1 + W_2) = \dim(W_1) + \dim(W_2) - \dim(W_1 \cap W_2)

该式表示包含在空间 $V$ 内的子空间 $W$ ，其维数绝不会超过原空间 $V$ 的维数。若两者维数相等，则说明子空间 $W$ 与原空间 $V$ 完全相同。

\dim(W) \le \dim(V) \quad (W \subseteq V)

请选择要练习的题组。