秩

日本学年参考：大学1年级

学习内容

学习矩阵的秩，即矩阵中极大线性无关行向量或列向量的个数。该概念广泛应用于判断线性方程组解的存在性与解的自由度。学习本内容前，建议先掌握初等行变换与线性无关的基础知识。

要点

这是说明矩阵 $A$ 的秩（rank）实际含义的公式。它等于矩阵变换后输出空间（像空间 $\operatorname{Im}(A)$ ）的维数，代表互相独立的列向量的个数。

\operatorname{rank}(A) = \dim(\operatorname{Im}(A))

这个公式说明将行与列互换后的转置矩阵 $A^T$ ，其秩依然与原矩阵 $A$ 相同。这表明对任何矩阵，互相独立的“行数”与“列数”永远相等。

\operatorname{rank}(A^T) = \operatorname{rank}(A)

这是确定一个 $m$ 行 $n$ 列矩阵 $A$ 其秩的上限公式。矩阵的秩绝对不可能超过行数 $m$ 与列数 $n$ 当中较小的那个数值。

\operatorname{rank}(A) \le \min(m, n)

这是两个矩阵乘积 $AB$ 的秩的重要性质。矩阵相乘绝不会增加空间的维数，因此乘积 $AB$ 的秩不会超过原矩阵 $A$ 或 $B$ 各自的秩。

\operatorname{rank}(AB) \le \min(\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B))

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