线性无关

日本学年参考：大学1年级

学习内容

本节学习一组向量线性无关与线性相关的严格代数定义，并掌握利用矩阵方程进行判定的方法。这是确定向量空间基与维数、消除冗余的核心概念。学习前需要熟悉向量的线性组合以及求解线性方程组的基本方法。

要点

这是向量组满足“线性无关”的定义式。表示要让向量 $\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_k$ 数乘相加得到零向量 $\boldsymbol{0}$ ，唯一的可能是所有系数 $c_1, \dots, c_k$ 全部为 0。

c_1 \boldsymbol{v}_1 + \dots + c_k \boldsymbol{v}_k = \boldsymbol{0} \implies c_1 = \dots = c_k = 0

这是用行列式检验 $n$ 维空间中 $n$ 个向量是否线性无关的公式。将它们并排组成方阵，只要行列式不等于 0，就说明这组向量线性无关。

\det([\boldsymbol{v}_1 \ \dots \ \boldsymbol{v}_n]) \neq 0

这是用矩阵的秩检验向量组是否线性无关的方法。把这 $k$ 个向量并排组成矩阵，若该矩阵的秩正好等于向量个数 $k$ ，则它们线性无关。

\operatorname{rank}([\boldsymbol{v}_1 \ \dots \ \boldsymbol{v}_k]) = k

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