基底と次元

学年の目安（日本）: 大学1年

学ぶこと

ベクトル空間を張る1次独立なベクトルの組である基底と、その個数である次元を学びます。空間の広がりや自由度を調べるために不可欠な概念です。1次独立や1次結合の理解を前提とします。

要点

ベクトルの組が空間 $V$ の全体を作り出せる（生成する）ことを表す式です。空間 $V$ に含まれるどんなベクトルも、基準となる $\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_n$ をそれぞれ何倍かして足し合わせるだけで作れることを意味します。

V = \operatorname{span}(\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_n)

2つの部分空間 $W_1$ と $W_2$ を合わせた空間（和空間）の次元を求める公式です。それぞれの次元を足し算し、重複して数えた共通部分 $W_1 \cap W_2$ の次元を引いて計算します。

\dim(W_1 + W_2) = \dim(W_1) + \dim(W_2) - \dim(W_1 \cap W_2)

全体の空間 $V$ に含まれる部分空間 $W$ の次元は、元の $V$ の次元以下になることを表す式です。もし次元が一致したときは、 $W$ と $V$ がまったく同じ空間であることを意味します。

\dim(W) \le \dim(V) \quad (W \subseteq V)

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