三角函数的合成

日本学年参考：数学II

学习内容

学习将正弦与余弦的一次代数和化为一个单独正弦函数的辅助角公式。该方法常用于求解函数的最值问题以及分析物体的简谐振动合成。在学习本内容前，熟练理解加法定理公式与单位圆上的坐标变换将有助于轻松掌握。

要点

这是把具有相同角 $\theta$ 的 $\sin\theta$ 与 $\cos\theta$ 之和化简为单个 $\sin$ 的公式。式中 $a$ 与 $b$ 是系数，在求最值或解三角方程时非常有用。

a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \alpha)

这是确定合成公式中辅助角 $\alpha$ 的式子。在坐标平面上标出点 $(a, b)$ 时，从原点连向该点的线段与 $x$ 轴正方向形成的夹角即为 $\alpha$ 。

\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \quad \sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}

三角函数合成公式仅在 $\sin$ 与 $\cos$ 中的角 $\theta$ 完全相同时适用。若角度不同，须先利用倍角公式等方法将角度统一后再使用。

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