三角関数の合成

学年の目安（日本）: 数学II

学ぶこと

正弦と余弦の一次式を1つの正弦関数にまとめる三角関数の合成法を学びます。関数の最大値・最小値の決定や、単振動の合成など物理現象の解析に活用されます。事前に加法定理の展開と単位円上の点と角の対応を理解しておくと容易に身につきます。

要点

同じ角 $\theta$ をもつ $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の和を、1つの $\sin$ にまとめる公式です。 $a$ と $b$ はそれぞれの係数で、式の最大値・最小値や方程式の解を求めるときに使います。

a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \alpha)

合成した式に現れる補助的な角 $\alpha$ を決めるための式です。座標平面上に点 $(a, b)$ をとったとき、原点と結ぶ線分が $x$ 軸の正の向きとなす角が $\alpha$ になります。

\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \quad \sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}

三角関数の合成は、 $\sin$ と $\cos$ の角 $\theta$ が一致している場合にのみ利用できます。角が異なる場合は、倍角の公式などを用いて角をそろえてから適用します。

練習する問題セットを選んでください。