三角函数的图像

日本学年参考：数学II

学习内容

学习绘制正弦、余弦及正切函数图像，并掌握周期、正弦与余弦的振幅以及相位平移规律。图像的可视化对于分析声波、交流电等周期性现象至关重要。在学习本内容前，熟练掌握弧度制与各特殊角三角函数值的对应关系将有助于准确作图。

要点

这组式子表明 $\sin\theta$ 与 $\cos\theta$ 的值在角 $\theta$ 每增加 $2\pi$ （ $360^\circ$ ）时就会回到原值。这说明它们的图像是以 $2\pi$ 为周期重复相同波形的。

\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta, \quad \cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta

此式表明 $\tan\theta$ 的值在角 $\theta$ 每增加 $\pi$ （ $180^\circ$ ）时就会回到原值。正切函数的图像是以 $\pi$ 为周期重复相同形状的。

\tan(\theta + \pi) = \tan\theta

这说明当角度变为 $-\theta$ 时， $\sin$ 的值变为相反数，而 $\cos$ 的值保持不变。可用于判断图像是关于原点对称（ $\sin$ ）还是关于 $y$ 轴对称（ $\cos$ ）。

\sin(-\theta) = -\sin\theta, \quad \cos(-\theta) = \cos\theta

这是用来确定正弦波振幅（高度）与周期（一个完整波形的长度）的关系式。系数 $A$ 使波形振幅扩大为 $|A|$ 倍，而 $\theta$ 的系数 $B$ 决定了循环周期 $T = \frac{2\pi}{|B|}$ 。

y = A\sin(B\theta) \implies T = \frac{2\pi}{|B|}

请选择要练习的题组。