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二倍角与半角公式

三角比与三角函数

日本学年参考：数学II

学习内容

学习利用加法定理推导二倍角公式与半角公式的方法及其计算技巧。这些公式在求解三角方程以及降幂化简相关代数运算时非常实用。在学习本内容前，熟练掌握基础加法定理是顺利推导与运用的重要前提。

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要点

这是将 2θ2\theta 的正弦表示为原角 θ\theta 三角函数的公式。当需要将式子中的角度统一为 θ\theta，或者将乘积 sin⁡θcos⁡θ\sin\theta\cos\theta 化简为一个单独的项时使用。

sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta

这是将 cos⁡2θ\cos 2\theta 表示为原角 θ\theta 三角函数的公式。根据计算需要，可以灵活地将其改写为只含 cos⁡θ\cos\theta 或只含 sin⁡θ\sin\theta 的形式。

cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ=2cos⁡2θ−1=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta

这是通过 cos⁡θ\cos\theta 计算半角 θ2\frac{\theta}{2} 的正弦平方的公式。常用于求解半角的函数值，或将 sin⁡\sin 的二次式降为一次式以简化计算。

sin⁡2θ2=1−cos⁡θ2\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}

这是通过 cos⁡θ\cos\theta 计算半角 θ2\frac{\theta}{2} 的余弦平方的公式。常用于求解半角的函数值，或将 cos⁡\cos 的二次式降为一次式以简化计算。

cos⁡2θ2=1+cos⁡θ2\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}

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