圆幂定理

日本学年参考：数学A

学习内容

学习圆内或圆外两条相交直线截圆所得线段乘积关系的方幂定理。本节以三角形相似和圆周角定理为前置知识，探究线段比例与积的恒等关系。该定理是求解圆与直线相交几何题中未知线段长度及证明共圆的高效工具。

要点

该公式表示割线的圆幂定理。当过点 $P$ 的两条直线与圆分别交于点 $A, B$ 和 $C, D$ 时，线段乘积 $PA \cdot PB$ 与 $PC \cdot PD$ 恒相等。

PA \cdot PB = PC \cdot PD

该公式表示切线与割线的圆幂定理。从圆外点 $P$ 引出交于 $A, B$ 的割线和切点为 $T$ 的切线时，乘积 $PA \cdot PB$ 等于切线长 $PT$ 的平方。

PA \cdot PB = PT^2

这是圆幂定理的逆定理，用于判断四点共圆。当线段 $AB$ 与 $CD$ （或其延长线）相交于点 $P$ 且满足 $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ 时， $A, B, C, D$ 四点必定共圆。

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