三角形的五心

日本学年参考：数学A

学习内容

学习三角形外心、内心、重心、垂心和旁心五大特征中心的定义与性质。本节以中垂线、角平分线、高线及中线等基本概念为基础。深入理解三角形的五心，有助于探究几何对称性，并用于解决各类高难度平面几何综合问题。

要点

该式表达了三角形重心 $G$ 的位置性质。重心 $G$ 将从顶点 $A$ 连至对边中点 $M$ 的中线按 $2:1$ 的比例分割。

AG : GM = 2 : 1

该公式表示中线定理（阿波罗尼奥斯定理）。当 $M$ 为边 $BC$ 的中点时，它给出了两边 $AB, AC$ 的平方和与中线 $AM$ 及半边 $BM$ 平方和之间的等量关系。

AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)

这是角平分线定理。角 $A$ 的平分线与对边 $BC$ 相交于点 $D$ 时，被分成的两段底边之比 $BD:DC$ 等于相邻两边之比 $AB:AC$ 。

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

这是区分外心与内心的几何特征。外心是外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等；内心是内切圆的圆心，到三条边的垂直距离相等。

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