塞瓦定理与梅涅劳斯定理

日本学年参考：数学A

学习内容

学习三角形各顶点引出的三条直线交于一点，或一条直线与三边及其延长线相交时成立的线段比关系。以相似形与比例性质为基础，能高效求解复杂的线段比。这些定理在深入分析平面几何图形中得到广泛应用。

要点

该公式表示塞瓦定理。当从三角形各顶点引出的三条线交于同一点时，对边上的分点 $P, Q, R$ 顺次构成的线段比乘积恒等于 1。

\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1

该公式表示梅涅劳斯定理。当一条直线与三角形各边或延长线相交于点 $D, E, F$ 时，沿三角形顺次将分点构成的线段比相乘，其乘积恒等于 1。

\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1

这是应用塞瓦定理或梅涅劳斯定理列式时避免混淆分子分母的技巧。按照“顶点 $\to$ 分点 $\to$ 顶点 $\to$ 分点”的顺序绕三角形一周，交替填入分子与分母即可。

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