方べきの定理

学年の目安（日本）: 数学A

学ぶこと

円の弦や割線、接線が交わるときに成り立つ線分の長さの積に関する性質を学びます。三角形の相似や円周角の定理を理解していると、公式の背景を円滑に捉えられます。円と直線が交わる複雑な図形の辺の長さを求める際に重宝されます。

要点

点 $P$ を通る2本の直線が円と交わるときに成り立つ関係式（方べきの定理）です。点 $P$ から各交点までの線分の積 $PA \cdot PB$ と $PC \cdot PD$ は常に等しくなります。

PA \cdot PB = PC \cdot PD

円の外側の点 $P$ から割線と接線を引いたときの関係式です。円との交点を $A, B$ 、接点を $T$ とするとき、線分の積 $PA \cdot PB$ は接線の長さ $PT$ の2乗に等しくなります。

PA \cdot PB = PT^2

4つの点が同一円周上にあるかを判定する決まり（方べきの定理の逆）です。2本の線分 $AB$ と $CD$ の交点を $P$ とするとき、 $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ が成り立てば4点 $A, B, C, D$ は同一の円の上に位置します。

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