Σ 求和运算

日本学年参考：数学B

学习内容

学习求和符号Σ的含义以及利用求和公式计算数列各项和的方法。这是简明表达复杂总和以及进一步学习微积分与极限的基础工具。在学习本内容前，先掌握等差数列与等比数列的求和方法将使理解更加顺畅。

要点

表示将不变量 $c$ 从 $k = 1$ 到 $n$ 累加 $n$ 次，其结果等于乘法 $nc$ 。在 $\sum$ 内部不含变量 $k$ 时使用。

\sum_{k=1}^n c = nc

计算从 $1$ 到 $n$ 的连续整数之和（ $1 + 2 + \dots + n$ ）的公式。是数列求和中最基础的计算公式。

\sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n + 1)

计算从 $1$ 到 $n$ 连续整数的平方和（ $1^2 + 2^2 + \dots + n^2$ ）的公式。常用于计算含有二次项的求和。

\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)

计算从 $1$ 到 $n$ 连续整数立方和（ $1^3 + 2^3 + \dots + n^3$ ）的公式。其结果恰好等于普通自然数之和 $1 + 2 + \dots + n$ 结果的整体平方。

\sum_{k=1}^n k^3 = \left\{\frac{1}{2}n(n + 1)\right\}^2

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