等比数列

日本学年参考：数学B

学习内容

学习等比数列的通项公式以及求前n项和的方法。该知识广泛应用于复利计算以及模拟按比例增减的实际变化过程。在学习本内容前，熟练掌握指数运算法则与代数式基础将有助于更顺畅地理解。

要点

在以固定公比 $r$ 连续相乘的等比数列中，根据首项 $a_1$ 求第 $n$ 项 $a_n$ 的公式。计算方式为在首项后连乘 $n - 1$ 次公比 $r$ 。

a_n = a_1 r^{n-1}

当公比 $r \neq 1$ 时计算等比数列前 $n$ 项总和 $S_n$ 的公式。当 $r = 1$ 时，各项均为首项，总和为 $n a_1$ 。

S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} \quad (r \neq 1)

当三个数 $a, b, c$ 依序成等比数列时，中间数 $b$ 的平方等于两边之积 $ac$ （等比中项性质）。

b^2 = ac

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