递推公式

日本学年参考：数学B

学习内容

学习通过相邻项之间的递推关系式求数列通项公式的解法。该方法常用于分析算法结构以及描述离散动态变化的模型中。学习本内容前，掌握等差数列与等比数列的公式以及方程求解技巧将大有助益。

要点

利用相邻两项之差 $b_k = a_{k+1} - a_k$ （阶差数列），通过首项 $a_1$ 累加求出第 $n$ 项 $a_n$ 的公式。适用于 $n \ge 2$ 的情况。

a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \quad (n \ge 2)

通过从两边同时减去常数 $\alpha$ ，把递推式 $a_{n+1} = p a_n + q$ 变形为等比数列形式，从而求得通项。

a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha) \quad (\alpha = p\alpha + q)

由于阶差数列公式仅在 $n \ge 2$ 时适用，求出通项后，务必将 $n = 1$ 代入以验证其对首项是否同样成立。

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