Σ の計算

学年の目安（日本）: 数学B

学ぶこと

総和を表す記号Σの意味と、公式を用いた数列の和の計算方法を学びます。複雑な数列の和の処理や、将来の積分や極限の基礎として不可欠な手法です。事前に等差数列や等比数列の和の求め方を理解しておくと円滑に進められます。

要点

変化しない定数 $c$ を $k = 1$ から $n$ まで $n$ 回足し合わせる計算を表し、掛け算 $nc$ で求められます。 $\sum$ の中に変数 $k$ がないときに使います。

\sum_{k=1}^n c = nc

$1$ から $n$ までの連続する自然数を $1 + 2 + \dots + n$ と順番に足し合わせた総和を求める公式です。数列の和の基本となる計算です。

\sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n + 1)

$1$ から $n$ までの整数の2乗を $1^2 + 2^2 + \dots + n^2$ とすべて足し合わせた総和を求める公式です。2次式の和を計算するときに使います。

\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)

$1$ から $n$ までの整数の3乗の総和（ $1^3 + 2^3 + \dots + n^3$ ）を求める公式です。通常の自然数の和 $1 + 2 + \dots + n$ の結果を丸ごと2乗した値と一致します。

\sum_{k=1}^n k^3 = \left\{\frac{1}{2}n(n + 1)\right\}^2

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