漸化式

学年の目安（日本）: 数学B

学ぶこと

各項の間の関係を表す漸化式から、数列の一般項を求める手法を学びます。コンピュータのアルゴリズム解析や、ステップごとの変化を扱うモデル化で重宝します。事前に等差・等比数列の公式や方程式の解法を押さえておくと効果的です。

要点

隣り合う項の差 $b_k = a_{k+1} - a_k$ （階差数列）を使って、初項 $a_1$ から第 $n$ 項 $a_n$ を求める公式です。 $n \ge 2$ のときに使います。

a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \quad (n \ge 2)

漸化式 $a_{n+1} = p a_n + q$ の両辺から定数 $\alpha$ を引くことで、等比数列の形に変形して一般項を求める手法です。

a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha) \quad (\alpha = p\alpha + q)

階差数列の公式は $n \ge 2$ のときのみ成り立つ式なので、求めた一般項の式に $n = 1$ を代入し、初項 $a_1$ でも成り立つかを必ず確かめます。

練習する問題セットを選んでください。