常系数二阶线性方程

日本学年参考：大学2年级

学习内容

本节学习利用特征方程求解常系数二阶线性常微分方程通解的方法。该类方程是分析机械振动、交流电路等物理与工程中周期现象的基础工具。在学习本内容前，需要熟练掌握一元二次方程的求根公式以及指数函数的微积分。

要点

这是求解二阶常系数线性齐次微分方程时引入的特征方程。假设解为 $y = e^{\lambda x}$ ，即可把微分方程转化为关于 $\lambda$ 的普通一元二次方程。

ay'' + by' + cy = 0 \implies a\lambda^2 + b\lambda + c = 0

这是特征方程具有两个不同实根 $\lambda_1$ 与 $\lambda_2$ 时的通解公式。解由两个指数函数分别乘以任意常数 $C_1$ 和 $C_2$ 后相加构成。

y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x} \quad (\lambda_1 \neq \lambda_2)

这是特征方程具有重根 $\lambda$ （单重实根）时的通解公式。为了构造线性无关的第二个解，需给常数项乘上自变量 $x$ （ $C_1, C_2$ 为常数）。

y = (C_1 + C_2 x)e^{\lambda x}

这是特征方程具有共轭复根 $\lambda = \alpha \pm i\beta$ 时的通解公式。解中包含表示振荡波动的三角函数 $\cos\beta x$ 与 $\sin\beta x$ ，实部 $\alpha$ 则通过指数 $e^{\alpha x}$ 决定振幅的衰减或放大（ $C_1, C_2$ 为常数）。

y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x) \quad (\lambda = \alpha \pm i\beta)

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练习1准备中