一阶线性方程

日本学年参考：大学2年级

学习内容

本节学习利用积分因子法与常数变易法求解一阶线性微分方程的通解。该类方程在电路分析、溶液混合过程等工程与物理问题中具有广泛应用。在学习本内容前，需要熟练掌握乘积的求导法则以及基本的不定积分方法。

要点

这是标准的一阶线性微分方程形式，未知函数 $y$ 及其导数 $y'$ 均以一次方形式出现。式中的 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 均为关于 $x$ 的已知函数。

y' + P(x)y = Q(x)

这是直接求出一阶线性微分方程通解 $y$ 的公式。它通过在方程两边同乘积分因子 $e^{\int P(x)\,dx}$ 整理推导得出（ $C$ 为任意常数）。

y = e^{-\int P(x)\,dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx + C\right)

这是右侧为 0 时的一阶齐次线性微分方程的通解公式。通过分离变量法即可轻松求解，结果为指数函数乘上任意常数 $C$ 。

y' + P(x)y = 0 \implies y = Ce^{-\int P(x)\,dx}

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