定数係数の二階線形

学年の目安（日本）: 大学2年

学ぶこと

特性方程式を用いて、定数係数をもつ二階線形微分方程式の解を求める方法を学びます。バネの振動や電気回路の過渡応答など、物理や工学の振動現象を扱う場面で使われます。二次方程式の解法や指数関数の微分積分の理解が必要です。

要点

定数係数の二階線形微分方程式を解く際に、解を $y = e^{\lambda x}$ と仮定して得られる2次方程式（特性方程式）です。微分方程式の問題を代数方程式に置き換えて $\lambda$ を求めます。

ay'' + by' + cy = 0 \implies a\lambda^2 + b\lambda + c = 0

特性方程式が異なる2つの実数解 $\lambda_1, \lambda_2$ を持つときの微分方程式の一般解です。それぞれを指数に持つ項の定数倍を足し合わせて表します（ $C_1, C_2$ は任意定数です）。

y = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x} \quad (\lambda_1 \neq \lambda_2)

特性方程式が重解 $\lambda$ （1つだけの実数解）を持つときの一般解です。独立な2つの解を作るために2つ目の項に $x$ を掛け、 $(C_1 + C_2 x)e^{\lambda x}$ の形で表します（ $C_1, C_2$ は定数です）。

y = (C_1 + C_2 x)e^{\lambda x}

特性方程式の解が虚数（複素数） $\lambda = \alpha \pm i\beta$ になったときの一般解です。波や振動を表す三角関数 $\cos\beta x, \sin\beta x$ が現れ、実部 $\alpha$ が指数関数 $e^{\alpha x}$ として振幅の増減を決めます（ $C_1, C_2$ は定数です）。

y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x) \quad (\lambda = \alpha \pm i\beta)

練習する問題セットを選んでください。

練習1準備中