一階線形

学年の目安（日本）: 大学2年

学ぶこと

積分因子や定数変化法を用いて、一階線形微分方程式の一般解を求める手法を学びます。電気回路や流体の混合過程など工学・物理の基礎解析で幅広く使われます。学習にあたり積の微分法や基本的な不定積分の習熟が前提です。

要点

未知の関数 $y$ とその導関数 $y'$ がともに1乗で現れる「一階線形微分方程式」の標準形です。 $P(x)$ と $Q(x)$ は $x$ だけの既知の関数を表します。

y' + P(x)y = Q(x)

一階線形微分方程式の一般解 $y$ を直接求める解の公式です。両辺に積分因子 $e^{\int P(x)\,dx}$ を掛けて左辺を積の微分にまとめることで導かれます（ $C$ は任意定数です）。

y = e^{-\int P(x)\,dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx + C\right)

右辺が 0 の一階線形微分方程式（同次方程式）の解き方です。変数分離によって容易に解くことができ、指数関数に任意定数 $C$ を掛けた形になります。

y' + P(x)y = 0 \implies y = Ce^{-\int P(x)\,dx}

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