可分离变量方程

日本学年参考：大学2年级

学习内容

本节学习通过将不同变量移至等式两端并积分来求解可分离变量微分方程。这种方法广泛应用于人口增长模型、放射性衰变等自然现象的分析中。在学习本内容前，需要熟练掌握基本导数公式以及不定积分的计算技巧。

要点

这是可分离变量微分方程的标准形式，其中导数 $dy/dx$ 可以分解为只含 $x$ 的函数 $f(x)$ 与只含 $y$ 的函数 $g(y)$ 的乘积。

\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)

这是求解可分离变量微分方程的公式。将含 $y$ 的项移到左边，含 $x$ 的项移到右边，分别积分即可求得通解（ $C$ 为积分常数）。

\int \frac{1}{g(y)}\,dy = \int f(x)\,dx + C

在两边同除以 $g(y)$ 之前，必须先检查使 $g(y_0) = 0$ 的常数解 $y = y_0$ 。因为除数不能为零，需要单独作为特解或特殊解列出。

g(y_0) = 0 \implies y = y_0

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