重积分

日本学年参考：大学1年级

学习内容

本节学习二元函数在平面区域上的二重积分计算方法。重积分广泛应用于求解空间曲面下的立体体积以及平面图形的面积。在学习本内容前，需要熟练掌握单变量函数的定积分计算以及累次积分的基本计算技巧。

要点

该公式通过累次积分来计算平面区域 $D$ 上的二重积分。先对内层的 $y$ 积分，再把结果对外层的 $x$ 积分，逐步化为普通定积分计算。

\iint_D f(x,y)\,dxdy = \int_a^b \left( \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy \right) dx

当积分区域为矩形且被积函数能拆分为 $f(x)g(y)$ 时，可以分别计算关于 $x$ 和 $y$ 的两个单变量积分，再将结果相乘。

\iint_{[a,b]\times[c,d]} f(x)g(y)\,dxdy = \int_a^b f(x)\,dx \int_c^d g(y)\,dy

当把被积函数设为 1 时，在区域 $D$ 上的二重积分结果即为该区域的面积 $S$ 。常用于计算平面不规则图形的面积。

\iint_D dxdy = S

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