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极坐标变换

偏导数与重积分

日本学年参考：大学1年级

学习内容

本节学习利用极坐标变换及雅可比行列式计算二重积分的方法。该方法在处理圆形或具有旋转对称性的积分区域时尤为高效。学习本内容前，需要熟练掌握直角坐标系下的二重积分计算以及三角函数的基础知识。

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要点

这是把直角坐标 (x,y)(x, y) 转换为极坐标的公式，其中 rr 为到原点的距离，θ\theta 为旋转角。用于简化具有圆周对称性的积分计算。

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta

这是在重积分中换元为极坐标时微元面积的变换式，将 dxdydxdy 替换为 r dr dθr\,dr\,d\theta。计算时切记不能漏掉半径因子 rr。

dxdy=r dr dθdxdy = r\,dr\,d\theta

这是在圆形或环形区域上计算二重积分时的极坐标变换公式。将 xx 和 yy 替换为极坐标表达式，并乘上因子 rr 进行积分。

∬Df(x,y) dxdy=∬D∗f(rcos⁡θ,rsin⁡θ) r dr dθ\iint_D f(x,y)\,dxdy = \iint_{D^*} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta

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