重積分

学年の目安（日本）: 大学1年

学ぶこと

2変数関数を平面上の指定された領域で積分する重積分を学びます。立体の体積や平面領域の面積を求める際に活用されます。計算を進めるには、1変数の定積分と累次積分の考え方の理解が必要です。

要点

平面上の領域 $D$ で 2変数関数 $f(x, y)$ の重積分（立体積）を求めるときに使います。まず内側の $y$ について積分し、その結果を外側の $x$ について積分するというように、1文字ずつ通常の積分を繰り返して計算します。

\iint_D f(x,y)\,dxdy = \int_a^b \left( \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy \right) dx

積分する範囲が長方形 $[a, b] \times [c, d]$ であり、関数が $f(x)g(y)$ のように $x$ の式と $y$ の式の積に分かれているときに使えます。それぞれの積分を別々に計算して掛け合わせるだけで求まります。

\iint_{[a,b]\times[c,d]} f(x)g(y)\,dxdy = \int_a^b f(x)\,dx \int_c^d g(y)\,dy

高さの関数を 1 として領域 $D$ で重積分すると、その領域の広さ（面積 $S$ ）そのものが求まることを表す式です。曲線で囲まれた複雑な平面図形の面積を計算するときに使います。

\iint_D dxdy = S

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