偏导数

日本学年参考：大学1年级

学习内容

本节学习在多元函数中把其他变量视为常数、仅对某一特定变量求导的偏导数计算方法。该方法广泛应用于多元最优化求解及物理场论方程分析中。熟练掌握一元函数的导数公式和求导法则是顺利学习的前提条件。

要点

这是二元函数 $f(x, y)$ 关于 $x$ 的偏导数定义式。它表示在将 $y$ 视为固定常数时，函数仅随 $x$ 变化的瞬时变化率。

\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}

该定理表明对 $x$ 和 $y$ 各偏导一次时，求导顺序可以互换而不影响结果（只要函数的二阶偏导数连续即成立）。

\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}

这是多元复合函数的链式法则，用来求当 $x$ 和 $y$ 都随时间 $t$ 变化时 $z$ 的总变化率 $dz/dt$ 。只需将通过 $x$ 和通过 $y$ 引起的变化率相加。

\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}

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