n阶行列式（余子式展开、克拉默法则）

日本学年参考：大学1年级

学习内容

学习一般n阶方阵行列式的性质、利用代数余子式展开的计算方法以及克莱姆法则。这些内容在求解未知数较多的线性方程组及分析特征值问题中广泛使用。学习前需要熟练掌握二阶行列式计算与矩阵的基本运算。

要点

这是按第 $i$ 行展开计算高阶行列式的公式（拉普拉斯展开）。它将大型行列式化简为更小阶数的子行列式 $M_{ij}$ ，用第 $i$ 行的各元素 $a_{ij}$ 乘以正负符号与对应的子式后求和。

\det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}

这是用行列式直接求解线性方程组未知数 $x_i$ 的公式（克拉默法则）。通过除以系数行列式 $\det A$ 来计算，其中 $A_i$ 是将原系数矩阵 $A$ 的第 $i$ 列替换为等号右侧常数项所得到的矩阵。

x_i = \frac{\det A_i}{\det A} \quad (\det A \neq 0)

这个公式说明将行与列互换后的转置矩阵 $A^T$ ，其行列式与原矩阵 $A$ 完全相同。这表明在计算行列式时，针对行成立的各种性质与计算规则，对列也完全适用。

\det(A^T) = \det A

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