n次の行列式（余因子展開・クラメルの公式）

学年の目安（日本）: 大学1年

学ぶこと

一般の正方行列に対する行列式の定義や性質、余因子展開による計算とクラメルの公式を学びます。未知数の多い連立一次方程式の解法や固有値問題の解析で用いられます。2次行列式の計算や行列の基本操作の理解が必要です。

要点

大きな行列の行列式を、1回り小さい行列式 $M_{ij}$ に分解して計算する式です（余因子展開）。第 $i$ 行に並ぶ各成分 $a_{ij}$ に、位置ごとのプラスマイナスの符号と小行列式 $M_{ij}$ を掛けて合計します。

\det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}

連立方程式の未知数 $x_i$ を、行列式だけで直接求める式です（クラメルの公式）。係数の行列式 $\det A$ で割って計算し、 $A_i$ は係数行列 $A$ の第 $i$ 列を等号の右側にある定数で置き換えた行列を表します。

x_i = \frac{\det A_i}{\det A} \quad (\det A \neq 0)

行と列を入れ替えた転置行列 $A^T$ の行列式が、元の行列 $A$ の行列式とまったく同じ値になることを表す式です。行列式を計算するとき、行について成り立つ計算のルールが列に対してもそのまま使えることを示しています。

\det(A^T) = \det A

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