逆矩阵

日本学年参考：大学1年级

学习内容

本节学习与原方阵相乘得到单位矩阵的逆矩阵定义，以及通过行列式判定可逆性并求解逆矩阵的公式。它在求解矩阵方程和几何坐标变换中起着核心作用。学习本节内容前，需要熟练掌握单位矩阵、矩阵乘法及行列式的相关知识。

要点

这是逆矩阵 $A^{-1}$ 的定义式，它在矩阵中的作用类似于普通数字的倒数。无论从左侧还是右侧与原矩阵 $A$ 相乘，结果都是单位矩阵 $I$ （相当于数字 1 的基准矩阵）。

AA^{-1} = A^{-1}A = I

这是具体计算 $2 \times 2$ 矩阵逆矩阵 $A^{-1}$ 的公式。交换主对角线上的 $a$ 与 $d$ ，将 $b$ 与 $c$ 改变正负号，最后将整个矩阵除以行列式 $ad - bc$ 。

A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \quad (ad-bc \neq 0)

这是计算两个矩阵乘积 $AB$ 逆矩阵的公式。它等于各自逆矩阵的乘积，但前后顺序必须颠倒，即 $B^{-1}$ 必须排在 $A^{-1}$ 的前面。

(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

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