单射与满射

日本学年参考：大学1年级

学习内容

本节学习关注元素间的对应规律，严格定义映射的单射、满射与双射性质，并探讨逆映射的求法。这些概念是近世代数同构判定以及计算机可逆数据处理的基础。提前熟悉函数的概念与集合运算将有助于顺利理解。

要点

这是函数（映射） $f$ 为单射（一对一映射）的定义。它说明如果输出相同（ $f(x_1) = f(x_2)$ ），输入 $x_1$ 与 $x_2$ 也必须相同，即不同的输入不会映射到同一个值。

f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2

这是映射 $f$ 为满射的定义式。它表示目标集合 $Y$ 中的任意元素 $y$ ，都能在起始集合 $X$ 中找到对应的原像 $x$ 使得 $f(x) = y$ ，即目标集合中没有被遗漏的元素。

\forall y \in Y, \; \exists x \in X \; (f(x) = y)

当映射 $f$ 既是单射又是满射（即双射）时，存在逆映射 $f^{-1}$ 可以把元素还原。先后进行映射与逆映射会得到恒等映射 $\mathrm{id}$ ，即将元素送回自身。

f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_X, \quad f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_Y

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