等价关系

日本学年参考：大学1年级

学习内容

本节学习满足自反性、对称性与传递性的二元关系（等价关系），并掌握将集合划分为不相交等价类的方法。这构成了同余类、商群以及商空间等高等数学结构的核心基石。具备集合的笛卡尔积和基本逻辑推理知识将大有助益。

要点

这是等价关系 $\sim$ 必须满足的“自反性”。它规定集合中的任意元素 $a$ 都必须与自身相关联（ $a \sim a$ ），即自己属于自己的类别。

a \sim a

这是等价关系的“对称性”。如果元素 $a$ 与 $b$ 等价，那么反过来 $b$ 也必然与 $a$ 等价，表明这种关联是双向对等的。

a \sim b \implies b \sim a

这是等价关系的“传递性”。它表示如果 $a$ 与 $b$ 等价，且 $b$ 与 $c$ 等价，那么 $a$ 也必定与 $c$ 等价。

a \sim b \land b \sim c \implies a \sim c

这是等价类 $[a]$ 的定义，它把集合 $A$ 中所有与 $a$ 等价的元素 $x$ 归入同一个子集。常用于把整个集合无重叠地划分为若干类别。

[a] = \{ x \in A \mid x \sim a \}

请选择要练习的题组。