単射・全射

学年の目安（日本）: 大学1年

学ぶこと

元と元の対応関係に着目し、写像の単射性・全射性・全単射性を厳密に定義して逆写像の構成を学びます。代数学の同型判定や情報科学における可逆なデータ処理の基礎として使われます。関数の基本概念や集合の演算をあらかじめ理解しておくと有効です。

要点

写像 $f$ が単射（1対1の対応）であることを表す定義式です。計算結果（出力）が同じ $f(x_1) = f(x_2)$ なら元の入力 $x_1$ と $x_2$ も同じでなければならず、異なる入力が同じ行き先に重ならないことを意味します。

f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2

写像 $f$ が全射であることを表す定義式です。行き先の集合 $Y$ にあるどの要素 $y$ に対しても、元の集合 $X$ から $f(x) = y$ となる相手 $x$ が必ず見つかる（行き先に取り残される要素がない）ことを意味します。

\forall y \in Y, \; \exists x \in X \; (f(x) = y)

単射と全射の両方を満たす（全単射である）とき、逆写像 $f^{-1}$ が存在して元の値に戻せることを表す式です。 $\mathrm{id}$ は何もしないで元の要素をそのまま返す恒等写像を表します。

f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_X, \quad f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_Y

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