同値関係

学年の目安（日本）: 大学1年

学ぶこと

反射律、対称律、推移律の3条件を満たす同値関係を定義し、集合を同値類へと類別する方法を学びます。合同式による剰余類や商空間など現代数学の構造を構築する基盤となります。集合の直積や命題論理の理解があると学習が円滑に進みます。

要点

ある関係 $\sim$ （同値関係）が満たすべき「反射律」を表す式です。どの要素 $a$ も自分自身とは同じ仲間（ $a \sim a$ ）とみなすという基本の決まりです。

a \sim a

同値関係の「対称律」を表す式です。 $a$ が $b$ の仲間であるなら、向きを逆にしても $b$ は $a$ の仲間になるという双方向の公平な関係を表します。

a \sim b \implies b \sim a

同値関係の「推移律」を表す式です。「 $a$ と $b$ が仲間」であり「 $b$ と $c$ が仲間」ならば、「 $a$ と $c$ も仲間」になるという連鎖の決まりです。

a \sim b \land b \sim c \implies a \sim c

要素 $a$ と同値関係にある要素 $x$ をすべて集めた部分集合（同値類 $[a]$ ）の定義です。集合 $A$ の要素を重複なくきれいにグループ分けするときに使います。

[a] = \{ x \in A \mid x \sim a \}

練習する問題セットを選んでください。