换元积分

日本学年参考：数学III

学习内容

学习通过将式子的一部分替换为新变量，并依据微分关系转换积分的换元积分法。它广泛应用于物理及工程中求解微分方程以及计算复杂的面积与体积。学习本项内容前，需要掌握复合函数的求导法则与基本不定积分。

要点

这是通过换元来简化复杂函数积分的公式。将式子的一部分设为 $x = g(t)$ ，把 $g'(t) \, dt$ 整体替换为 $dx$ ，从而化为简单的积分形式。

\int f(g(t))g'(t) \, dt = \int f(x) \, dx \quad (x = g(t))

这是在定积分中使用换元法时的公式。将变量从 $t$ 转换为 $x = g(t)$ 时，积分范围也要相应地从 $t$ 的端点 $a, b$ 转换为 $x$ 的端点 $g(a), g(b)$ 。

\int_{a}^{b} f(g(t))g'(t) \, dt = \int_{g(a)}^{g(b)} f(x) \, dx \quad (x = g(t))

当分式的分子 $f'(x)$ 恰好是分母 $f(x)$ 的导数时使用的快速积分公式。无需繁琐的换元步骤，积分结果直接为分母绝对值的自然对数 $\log |f(x)|$ 加上积分常数 $C$ 。

\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \log |f(x)| + C

请选择要练习的题组。