面积

日本学年参考：数学II

学习内容

通过分析图象的位置关系，将上方函数减去下方函数的差在对应区间上进行定积分，从而求出所围图形的面积。该方法广泛应用于几何度量与工程分析中。在学习本内容前，需要掌握定积分的基础计算以及求解函数图象交点的方法。

要点

这是用来计算曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴在 $x=a$ 到 $x=b$ 之间围成面积 $S$ 的公式。加上绝对值 $|f(x)|$ 可以确保 $x$ 轴下方的区域也作为正的面积来累加。

S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx

这是用来计算两条曲线在 $x=a$ 到 $x=b$ 之间围成面积 $S$ 的公式。通过用上方的函数 $f(x)$ 减去下方的函数 $g(x)$ 并进行积分来求得。

S = \int_{a}^{b} \{f(x) - g(x)\} \, dx \quad (f(x) \ge g(x))

这是用来快速计算两个交点 $\alpha$ 与 $\beta$ 之间定积分的公式。无需展开被积函数，直接计算两交点之差 $\beta - \alpha$ 的3次方即可得出结果。

\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) \, dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3

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