置換積分

学年の目安（日本）: 数学III

学ぶこと

式の一部を新しい変数で置き換え、微分の関係に従って積分を書き換える置換積分法を学びます。微分方程式の求解や複雑な面積・体積の計算などで幅広く活用されます。合成関数の微分法や不定積分の基礎知識が必要です。

要点

複雑な関数を別の文字に置き換えて積分しやすくする置換積分の公式です。式の一部を $x = g(t)$ と置き、その微分 $g'(t)$ と $dt$ の積を $dx$ にまとめて簡単な積分に変形します。

\int f(g(t))g'(t) \, dt = \int f(x) \, dx \quad (x = g(t))

定積分で文字を置き換えて計算するときに使う公式です。変数を $t$ から $x = g(t)$ へ置き換える際、積分の範囲も $t$ の値である $a, b$ から $x$ の値である $g(a), g(b)$ へ変換します。

\int_{a}^{b} f(g(t))g'(t) \, dt = \int_{g(a)}^{g(b)} f(x) \, dx \quad (x = g(t))

分数の関数で、分母 $f(x)$ を微分した式が分子 $f'(x)$ に現れているときに使う積分公式です。置換の手間を省いて素早く計算でき、結果は分母の絶対値をとった自然対数 $\log |f(x)|$ に積分定数 $C$ を加えた形になります。

\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \log |f(x)| + C

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