分部积分

日本学年参考：数学III

学习内容

本节学习基于乘积求导法则的分部积分法，掌握计算两函数乘积积分的技巧。该方法常用于多项式与指数函数或三角函数相乘的积分计算。在学习前，掌握乘积导数公式以及基本的不定积分知识将有助于理解。

要点

这是用来计算两个函数乘积积分的分部积分公式。通过对 $f(x)$ 求导得到 $f'(x)$ ，对 $g'(x)$ 积分还原为 $g(x)$ ，将较难的原积分转化为更容易计算的新积分。

\int f(x)g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx

这是在定积分中应用分部积分法的公式。先计算乘积项 $f(x)g(x)$ 在上限 $b$ 与下限 $a$ 处的代入差值，再减去后半部分的新定积分。

\int_{a}^{b} f(x)g'(x) \, dx = \left[ f(x)g(x) \right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f'(x)g(x) \, dx

这是在分部积分中合理选择被积函数角色的基本原则。通常把求导后能化简（如降次）的函数选为 $f(x)$ ，把容易积分的函数选为 $g'(x)$ 。

请选择要练习的题组。