定积分

日本学年参考：数学II

学习内容

本项学习利用微积分基本定理，将积分区间的上限与下限代入原函数并求其差值以计算定积分。它广泛应用于计算几何图形面积、体积以及物理功等累积量。学习本项内容前，需要熟练掌握不定积分求法与代数代入计算。

要点

这是用来计算在区间 $[a, b]$ 上定积分具体数值的公式。先求出 $f(x)$ 的原函数 $F(x)$ ，再用代入上限的值 $F(b)$ 减去代入下限的值 $F(a)$ 即可。

\int_a^b f(x) \, dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)

这是将相邻区间的定积分合并相加的公式。把从 $a$ 到 $b$ 的积分与从 $b$ 到 $c$ 的积分相加，就等于从 $a$ 到 $c$ 的整段积分。

\int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx

该公式表明，把从常数 $a$ 到变量 $x$ 的积分对 $x$ 求导时，被积表达式中的变量会变为 $x$ 并直接得到 $f(x)$ 。常用于对积分形式定义的函数求导。

\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x)

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