定積分

学年の目安（日本）: 数学II

学ぶこと

微積分学の基本定理を用い、原始関数に積分区間の上端と下端を代入し、その差を求めて定積分の値を計算します。図形の面積や体積の導出、仕事量の計算など累積量を評価する場面で広く応用されます。不定積分の計算と整式の代入計算が前提知識となります。

要点

区間 $[a, b]$ における定積分の値を計算する公式です。 $f(x)$ を積分した式 $F(x)$ に上の数 $b$ を代入した値から、下の数 $a$ を代入した値を引き算して求めます。

\int_a^b f(x) \, dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)

区間を分割して定積分を足し合わせる公式です。 $a$ から $b$ までの積分と $b$ から $c$ までの積分を足すと、 $a$ から $c$ までのひとまとめの積分として計算できます。

\int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx

定数 $a$ から変数 $x$ までの積分を $x$ で微分すると、中身の文字が $x$ に置き換わって $f(x)$ になる公式です。積分で定義された関数を微分して元の形を取り出すときに使います。

\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x)

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