体积与曲线长度

日本学年参考：数学III

学习内容

本节学习利用定积分求截面已知立体的体积、旋转体体积以及平面曲线的弧长。这些方法广泛应用于几何图形的度量和物理建模中。在学习本节内容前，需要掌握定积分的基本计算方法以及函数的导数概念。

要点

这是计算立体体积 $V$ 的基本公式。设垂直于 $x$ 轴切开立体的截面面积为 $S(x)$ ，在 $x=a$ 到 $x=b$ 之间对这些截面积进行积分累加即可求得体积。

V = \int_{a}^{b} S(x) \, dx

这是用来计算曲线 $y=f(x)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所形成的旋转体体积 $V$ 的公式。其垂直截面是半径为 $|f(x)|$ 、面积为 $\pi \{f(x)\}^2$ 的圆面，在 $x=a$ 到 $x=b$ 之间积分即可求得。

V = \pi \int_{a}^{b} \{f(x)\}^2 \, dx

这是用来计算平面曲线 $y=f(x)$ 在 $x=a$ 到 $x=b$ 之间弧长 $L$ 的公式。它基于勾股定理累加微小线段长度，式中的 $f'(x)$ 表示曲线各点处的导数（切线斜率）。

L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \{f'(x)\}^2} \, dx

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