部分積分

学年の目安（日本）: 数学III

学ぶこと

積の微分法を基にした部分積分の公式を学び、関数の積を積分する手法を習得します。多項式と指数関数や三角関数が組み合わさった関数の計算で活用されます。事前に積の微分法や基本的な不定積分の知識があると理解しやすいです。

要点

積の形をした関数を積分するときに使う部分積分の公式です。一方の関数 $f(x)$ を微分して $f'(x)$ にし、もう一方の導関数 $g'(x)$ を積分して $g(x)$ に戻すことで、より計算しやすい別の積分へ作り変えます。

\int f(x)g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx

定積分に部分積分を適用するときに使う公式です。前半の積 $f(x)g(x)$ に上限 $b$ と下限 $a$ を代入した差を求め、そこから後半の定積分を差し引きます。

\int_{a}^{b} f(x)g'(x) \, dx = \left[ f(x)g(x) \right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f'(x)g(x) \, dx

部分積分で2つの関数をどのように割り振るかの目安です。微分すると次数が下がって簡単になる関数を $f(x)$ に、積分しても形があまり複雑にならない関数を $g'(x)$ に選ぶと計算が進めやすくなります。

練習する問題セットを選んでください。