面積

学年の目安（日本）: 数学II

学ぶこと

グラフの位置関係を把握し、上側の関数から下側の関数を引いた差を、対応する区間で定積分して面積を求めます。図形の計量など幾何学的な解析で幅広く活用されます。事前に定積分の計算と関数の交点の求め方を理解しておくと円滑です。

要点

曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸、および $x=a$ と $x=b$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める式です。グラフが $x$ 軸の下側にある部分も正の面積として足せるよう、絶対値 $|f(x)|$ をつけて積分します。

S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx

上下に並ぶ2つの曲線で挟まれた部分の面積 $S$ を求める式です。 $x$ が $a$ から $b$ の範囲において、上側の式 $f(x)$ から下側の式 $g(x)$ を引いた差を積分します。

S = \int_{a}^{b} \{f(x) - g(x)\} \, dx \quad (f(x) \ge g(x))

2つの交点 $x=\alpha$ と $x=\beta$ の間を積分するときに素早く計算できる公式です。式を展開して積分する代わりに、2つの交点の差 $\beta - \alpha$ を3乗するだけで計算できます。

\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) \, dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3

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