不定方程

日本学年参考：数学A

学习内容

本节学习在方程数量少于未知数数量时，利用整数条件来确定方程所有整数解的方法。它广泛应用于离散数学与带有整除约束的应用题中。在学习本节前，掌握辗转相除法将有助于快速找到特解。

要点

用于求解方程 $ax + by = c$ 的所有整数解。从原方程中减去代入已知特解 $(x_0, y_0)$ 的等式，使右边化为 0。

a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0

这是表示一次不定方程所有整数解的式子。以已知的一组解 $(x_0, y_0)$ 为基础，利用任意整数 $k$ 即可表示出全部无数组解。

x = x_0 + bk, \quad y = y_0 - ak \quad (k \in \mathbb{Z})

用于判断方程 $ax + by = c$ 是否存在整数解的判定条件。当且仅当常数 $c$ 能被 $a$ 和 $b$ 的最大公约数整除时，方程才有整数解。

\gcd(a, b) \mid c

请选择要练习的题组。