不定方程式

学年の目安（日本）: 数学A

学ぶこと

未知数の数よりも方程式の数が少ない式について、整数という条件から解を特定する方法を学びます。整数の条件を絞り込む問題や離散的な数量の分析で使われます。事前にユークリッドの互除法を習得しておくと役立ちます。

要点

方程式 $ax + by = c$ のすべての整数解を求める手順で使う式です。あらかじめ見つけた1組の解 $(x_0, y_0)$ を代入した式を引き算して、右辺を 0 に整理します。

a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0

不定方程式のすべての整数解をまとめて表す式です。1組の解 $(x_0, y_0)$ をもとに、任意の整数 $k$ を使って無数にあるすべての解を表現できます。

x = x_0 + bk, \quad y = y_0 - ak \quad (k \in \mathbb{Z})

方程式 $ax + by = c$ に整数解が存在するかを調べる条件式です。右辺の数 $c$ が係数 $a$ と $b$ の最大公約数で割り切れるときに限り、解が存在します。

\gcd(a, b) \mid c

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